Σ1nlogn^p收敛当且仅当p1

这是一个级数的判定问题，我们可以使用积分判别法来解决。

设f(x) = 1/(x(logx)^p)，则f(x)在区间[2,∞)上单调递减且恒为正，因此：

∫2^∞ f(x)dx = ∫2^∞ 1/(x(logx)^p)dx

令u = logx，则du = 1/xdx，代入得：

∫2^∞ 1/(x(logx)^p)dx = ∫log2^∞ 1/(u^p)du

对于p>1，积分∫log2^∞ 1/(u^p)du收敛，因此原级数也收敛。

对于p≤1，积分∫log2^∞ 1/(u^p)du发散，因此原级数也发散。

综上所述，原级数收敛当且仅当p>1。