Px是首项系数为1的勒让德多项式Q_nxin H_n是任一首项系数为1的多项式则int_-1^1P^2 dxleint_-1^1Q^2 dx中 Px、Q_nxin H_n、int_-1^1P^2 dxleint_-1^1Q^2 dx用公式怎么表示

首先，勒让德多项式的定义为： [P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]] 其中，(n)为非负整数。

进一步地，我们可以得到勒让德多项式的正交性质： [\int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}] 其中，(\delta_{nm})为克罗内克符号，当(n=m)时为1，否则为0。

另外，我们知道，任意一个首项系数为1的多项式(Q_n(x)\in H_n)都可以表示为勒让德多项式的线性组合，即： [Q_n(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k P_k(x)]

因此，我们可以将原不等式表示为： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx] 将(Q_n(x))代入得： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \int_{-1}^{1}\left(\sum_{k=0}^{n} a_k P_k(x)\right)^2dx] 展开右侧的平方项，得到： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \sum_{k=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} a_k a_j \int_{-1}^{1}P_k(x)P_j(x)dx] 利用勒让德多项式的正交性质，可以将上式化为： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \sum_{k=0}^{n} \frac{2a_k^2}{2k+1}] 因为(a_0=1)，所以： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \frac{2}{2n+1}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2a_k^2}{2k+1}] 注意到(\frac{2a_k^2}{2k+1}\geq 0)，因此： [\int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx\leq \frac{2}{2n+1}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2a_k^2}{2k+1}\leq \sum_{k=0}^{n} \frac{2a_k^2}{2k+1}=\int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx]

综上所述，我们得到了原不等式的证明