1 求曲线 leftbeginarraylz=x^2+y^2 x+2 y+z-5=0endarrayright 在点 p112 处的法平面方程

首先，求出曲线在点 $p(1,1,2)$ 处的切向量，即曲线在点 $p$ 处的导数向量。由于曲线可以表示为 $\left{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2} \ x+2 y+z-5=0\end{array}\right.$，对其求偏导数得到 $$\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial z}{\partial z}=1,\quad \frac{\partial f}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=1$$ 在点 $p(1,1,2)$ 处，代入上式可得导数向量为 $\boldsymbol{v}=(2,2,1,1,2,1)$。

接下来，求出曲线在点 $p$ 处的法向量。由于法向量与法平面上的任意向量垂直，因此可以取曲线在点 $p$ 处的切向量 $\boldsymbol{v}$ 和法向量 $\boldsymbol{n}$ 的叉积作为法平面的法向量，即 $$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{n}_0$$ 其中 $\boldsymbol{n}_0$ 是任意不与 $\boldsymbol{v}$ 平行的向量，可以取为 $(1,0,-1,0,1,0)$。计算得到 $$\boldsymbol{n}=(2,-3,0)$$ 因此，曲线在点 $p$ 处的法平面方程为 $$2x-3y=1$