设D是由x轴y轴和直线x+y=1所围成的平面闭区域比较二重积分i1=∫∫Dx+ydσ与i2=∫∫Dx+y^2 dσ的大小

首先画出区域D：

由于D是关于直线x+y=1对称的，因此可以将D沿着直线x+y=1对称地分成两个部分，如下图所示：

考虑在左下角的三角形区域上进行积分，然后再将结果乘以2。

对于二重积分：

$$ i_1=\iint_D(x+y)d\sigma $$

在左下角的三角形区域D'上，有$x\in[0,1-y]$，$y\in[0,1]$，因此可以将i1改写为：

$$ i_1=2\iint_{D'}(x+y)dxdy $$

对于二重积分：

$$ i_2=\iint_D(x+y)^2d\sigma $$

同样地，在左下角的三角形区域D'上，有$x\in[0,1-y]$，$y\in[0,1]$，因此可以将i2改写为：

$$ i_2=2\iint_{D'}(x+y)^2dxdy $$

现在的问题就是比较二重积分$\iint_{D'}(x+y)dxdy$和$\iint_{D'}(x+y)^2dxdy$的大小。

注意到对于任意的$x,y$，有$(x+y)^2\geq x+y$，因此$(x+y)^2$的积分值一定大于$(x+y)$的积分值，即：

$$ \iint_{D'}(x+y)^2dxdy\geq \iint_{D'}(x+y)dxdy $$

因此有：

$$ i_2=2\iint_{D'}(x+y)^2dxdy\geq 2\iint_{D'}(x+y)dxdy=i_1 $$

综上所述，$i_2\geq i_1$，即$\int\int_D(x+y)^2d\sigma$的积分值大于$\int\int_D(x+y)d\sigma$的积分值