证明黎曼映射定理：如果$A$是单连通区域并且不是一整个平面则存在一个双射是共形映射把$A$映射成一个单位圆盘

证明：

Step 1：构造映射

设$A$是一个单连通区域，不是一整个平面，$z_0\in A$是一个固定点。考虑构造一个映射$f:A\to\mathbb{D}$，其中$\mathbb{D}$是单位圆盘。

首先，我们可以通过线性变换将$z_0$映射到圆心$0$，即存在线性变换$T(z)=az+b$，使得$T(z_0)=0$。

接下来，我们可以通过一个分式变换将$A$映射成一个圆盘的子集，即存在分式变换$h(z)=\frac{z-z_1}{z-\overline{z_1}}$，其中$z_1\in A$，使得$h(A)\subset\mathbb{D}$。

最后，我们可以通过一个双射将$h(A)$映射成整个单位圆盘，例如$g(z)=\frac{z-i}{z+i}$。

综上所述，我们可以构造出一个映射$f=g\circ h\circ T:A\to\mathbb{D}$，满足$f(z_0)=0$，且$f(A)\subset\mathbb{D}$。

Step 2：证明$f$是共形映射

为了证明$f$是共形映射，即保持角度不变，我们需要证明$f$是解析的且$f'(z)\neq 0$。

首先，由构造可知$f$是复合多个解析函数得到的，因此$f$本身也是解析的。

其次，我们有$f'(z)=g'(h(T(z)))h'(T(z))T'(z)$，其中$T(z)=az+b$，$h(z)=\frac{z-z_1}{z-\overline{z_1}}$，$g(z)=\frac{z-i}{z+i}$。因为$T(z)$和$h(z)$都是解析的，所以它们的导数也是解析的。而$g'(z)=\frac{4}{(z+i)^2}$，因此$g'(h(T(z)))$也是解析的。因此，$f'(z)$是解析的。

又因为$T'(z)=a$，$h'(z)=\frac{2}{(z-\overline{z_1})^2}$，$g'(z)=\frac{4}{(z+i)^2}$，所以$f'(z)\neq 0$。因此，$f$是共形映射。

Step 3：证明$f$是双射

为了证明$f$是双射，即$f(z_1)=f(z_2)$蕴含$z_1=z_2$，我们需要证明$f$是单射和满射。

首先，如果$f(z_1)=f(z_2)$，则$g(h(T(z_1)))=g(h(T(z_2)))$。因为$g$是双射，所以$h(T(z_1))=h(T(z_2))$。因为$h$是双射，所以$T(z_1)=T(z_2)$。因为$T$是双射，所以$z_1=z_2$。因此，$f$是单射。

其次，对于任意$w\in\mathbb{D}$，我们可以构造一个$z\in A$，使得$f(z)=w$。具体地，我们可以取$z=T^{-1}(h^{-1}(g^{-1}(w)))$。因为$T$、$h$、$g$都是双射，所以这个$z$是唯一的。因此，$f$是满射。

综上所述，$f$是一个双射的共形映射，把$A$映射成了单位圆盘。证毕