证明复平面上的mobius变化将圆映射成一条直线或者圆

设$z_0$为圆的圆心，$r$为圆的半径，则该圆可以表示为$|z-z_0|=r$。

设$w=f(z)$为一个mobius变换，即$w=\frac{az+b}{cz+d}$，其中$a,b,c,d$为复数且$ad-bc\neq 0$。

则对于任意一个圆上的点$z$，有：

$$|w-w_0|=\left|\frac{az+b}{cz+d}-\frac{az_0+b}{cz_0+d}\right|=\frac{|(ad-bc)(z-z_0)|}{|cz+d||cz_0+d|}$$

由于$ad-bc\neq 0$，所以$|(ad-bc)(z-z_0)|$不为零，因此只需要考虑分母的值。

如果$cz+d=0$，则$w=f(z)$为一个奇点，此时$z$不在圆上，因此不需要考虑。

如果$cz+d\neq 0$，则$|cz+d|\neq 0$，因此：

$$\frac{|w-w_0|}{|cz+d|}=\frac{|ad-bc|}{|cz_0+d|}\cdot\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}$$

由于$|ad-bc|$和$|cz_0+d|$都是常数，因此只需要考虑$\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}$的值。

如果$|z-z_0|=r$，则：

$$\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}=\frac{r}{|cz+d|}$$

如果$cz+d$为实数，则$\frac{r}{|cz+d|}$也为实数，因此$w=f(z)$将圆映射成一条直线。

如果$cz+d$不是实数，则$\frac{r}{|cz+d|}$为复数，因此$w=f(z)$将圆映射成一条圆。

综上所述，复平面上的mobius变换将圆映射成一条直线或者圆