给出证明：Möbius变换是一类特殊的共形变换它的表述如下：设$abcd$是复数且$ad-bcneq 0$。定义函数：$$fz = fracaz + bcz + d$$则$fz$是一个共形变换将复平面上的任意一条直线或圆映射为另一条直线或圆。

为了证明$f(z)$是一个共形变换，我们需要证明它保持角度和保持正则性。

首先证明$f(z)$保持角度。设$z_1,z_2$是复平面上两个不同的点，$w_1=f(z_1),w_2=f(z_2)$。我们需要证明$\angle z_1z_2 = \angle w_1w_2$。

由于$f(z)$是一个分式线性函数，我们可以将其写成以下形式：

$$f(z) = \frac{a}{c} - \frac{ad-bc}{c(cz+d)}$$

因此，

\begin{align*} \frac{w_2-w_1}{z_2-z_1} &= \frac{\frac{a z_2 + b}{c z_2 + d} - \frac{a z_1 + b}{c z_1 + d}}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a (z_2 - z_1)}{(c z_2 + d)(c z_1 + d)} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{(c z_2 + d) - (c z_1 + d)}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{z_2 - z_1}{c z_2 + d} \cdot \frac{c z_1 + d}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{(c z_1 + d) - (c z_2 + d)}{z_1 - z_2} \cdot \frac{c z_1 + d}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{\frac{a z_1 + b}{c z_1 + d} - \frac{a z_2 + b}{c z_2 + d}}{z_1 - z_2} \ &= \frac{w_1-w_2}{\overline{z_1-z_2}} \end{align*}

因此，$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}$和$\frac{w_1-w_2}{\overline{z_1-z_2}}$是一个实数$r$的共轭。这意味着它们具有相同的幅角，即$\angle z_1z_2 = \angle w_1w_2$。

接下来证明$f(z)$保持正则性。我们需要证明$f(z)$是双全纯的，即它既是全纯的，又有全纯的逆函数。

首先证明$f(z)$是全纯的。由于$ad-bc\neq 0$，所以$cz+d\neq 0$对于所有$z$都成立。因此，$f(z)$是一个除以非零常数的分式函数，它在其定义域内是全纯的。

接下来证明$f(z)$有全纯的逆函数。设$w=f(z)$，则$z=f^{-1}(w)$可以表示为：

$$z = \frac{dw-b}{-cw+a}$$

因此，$f^{-1}(w)$也是一个除以非零常数的分式函数，它在其定义域内是全纯的。

综上所述，$f(z)$是一个共形变换，它将复平面上的任意一条直线或圆映射为另一条直线或圆