给出复平面上共形变换的重要定理并且证明

复平面上的共形变换可以表示为 $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$，其中 $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ 且 $ad-bc\neq0$。

重要定理：共形变换保持角度不变。

证明：设 $z_1,z_2$ 为任意两个不同的复数，且它们的连线与实轴的夹角为 $\theta$。则有：

$$\tan\theta=\frac{\text{Im}(z_2-z_1)}{\text{Re}(z_2-z_1)}$$

将 $z_1,z_2$ 分别代入 $f(z)$，得到 $w_1=f(z_1),w_2=f(z_2)$。则有：

$$\tan\theta'=\frac{\text{Im}(w_2-w_1)}{\text{Re}(w_2-w_1)}=\frac{\text{Im}[f(z_2)-f(z_1)]}{\text{Re}[f(z_2)-f(z_1)]}$$

将 $f(z)$ 的表达式代入上式，化简得：

$$\tan\theta'=\frac{(ad-bc)\text{Im}(z_2-z_1)}{|cz_2+d|^2\text{Re}(z_2-z_1)}$$

由于 $ad-bc\neq0$，因此 $\tan\theta'=\tan\theta$，即共形变换保持角度不变