概率论与数理统计研究型作业要求举例研究说明单个总体为正态分布的均值的置信区间分两种情况。

情况一：已知总体方差

假设有一个制造公司生产的螺丝钉长度服从正态分布，已知总体方差为0.16，现从中随机抽取了25个样本，样本均值为2.48。现在需要求出该总体均值的置信区间。

根据正态分布的性质，样本均值的分布也服从正态分布，且均值为总体均值，方差为总体方差除以样本容量，即0.16/25=0.0064。根据置信水平和样本容量，可以在正态分布表中查找出相应的临界值。假设置信水平为95%，则查表可得临界值为1.96。

根据置信区间的公式，可得：

置信区间 = 样本均值 ± 临界值 × 样本标准差/√样本容量

代入数据，可得：

置信区间 = 2.48 ± 1.96 × 0.08 = (2.32, 2.64)

因此，可以在95%的置信水平下认为该总体均值落在2.32到2.64之间。

情况二：未知总体方差

假设有一家餐厅想要评估其顾客对某种新菜品的满意度。现从该餐厅的顾客中随机抽取了50个样本，样本均值为8.3，样本标准差为1.2。由于该菜品是首次推出，因此未知总体方差。现在需要求出该总体均值的置信区间。

与情况一类似，样本均值的分布也服从正态分布，但此时样本标准差无法直接代入公式中。因此需要利用t分布来计算。t分布的临界值取决于置信水平和自由度（样本容量减一），可以在t分布表中查找。

假设置信水平为95%，样本容量为50，则自由度为49，查表可得临界值为2.009。代入数据，可得：

置信区间 = 样本均值 ± 临界值 × 样本标准差/√样本容量

置信区间 = 8.3 ± 2.009 × 1.2/√50 = (7.78, 8.82)

因此，可以在95%的置信水平下认为该总体均值落在7.78到8.82之间