fn-12fn-1=12fn-1-12fn-2求fn

首先，将等式两边都乘以2，化简得：

$$2f(n)-f(n-1)=f(n-1)-\frac{1}{2}f(n-2)$$

移项得：

$$2f(n)=2f(n-1)+\frac{1}{2}f(n-2)$$

再将等式两边都除以$2^n$，得到：

$$\frac{f(n)}{2^n}=\frac{f(n-1)}{2^{n-1}}+\frac{f(n-2)}{2^{n+1}}$$

令$a_n=\frac{f(n)}{2^n}$，则有：

$$a_n=a_{n-1}+\frac{a_{n-2}}{4}$$

这是一个非齐次线性递推关系式，可以用特征方程的方法求解。假设$a_n=r^n$，则特征方程为：

$$r^n=r^{n-1}+\frac{1}{4}r^{n-2}$$

化简得：

$$4r^2-4r-1=0$$

解得：

$$r_1=1+\frac{1}{\sqrt{2}},\quad r_2=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

所以：

$$a_n=c_1\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n+c_2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$$

由于$f(0)=1$，$f(1)=2$，可以得到：

$$a_0=1,\quad a_1=1$$

代入上式得：

$$\begin{cases}c_1+c_2=1\ c_1\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+c_2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1\end{cases}$$

解得：

$$c_1=\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}},\quad c_2=\frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$$

所以：

$$a_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n-\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right]$$

最终结果为：

$$f(n)=2^n\cdot a_n=2^{n+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n-\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right]$