证明一个切线不等式

假设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(a,f(a))$ 处有一条切线，其斜率为 $m$，则该切线的方程为：

$$y-f(a) = m(x-a)$$

化简可得：

$$y = mx + (f(a) - ma)$$

现在考虑对于曲线上任意一点 $(x,f(x))$，其切线的斜率为 $f'(x)$，则该切线的方程为：

$$y - f(x) = f'(x)(x - x)$$

化简可得：

$$y = f'(x)x + (f(x) - xf'(x))$$

由于切线是曲线在该点处的局部近似，因此可以认为切线的截距和曲线上对应点的纵坐标相等，即：

$$f(a) - ma = f(x) - xf'(x)$$

移项可得：

$$f(x) - f(a) \geq m(x-a)$$

因此，对于任意一条切线，上述不等式都成立。