线性代数题

给定向量 $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}$ 和向量 $\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}4 \ 5 \ 6\end{pmatrix}$，求向量 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$。

解：向量 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \ 5 \ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \ 7 \ 9\end{pmatrix}$，向量 $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \ 5 \ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \ -3 \ -3\end{pmatrix}$。

给定向量 $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}$ 和标量 $k=2$，求向量 $k\boldsymbol{u}$。

解：向量 $k\boldsymbol{u}=2\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \ 4 \ 6\end{pmatrix}$。

给定向量 $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1 \ 2 \ 3\end{pmatrix}$ 和向量 $\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}4 \ 5 \ 6\end{pmatrix}$，求向量 $\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}$。

解：向量 $\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}=1\times 4+2\times 5+3\times 6=32$，向量 $\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}2\times 6-3\times 5 \ 3\times 4-1\times 6 \ 1\times 5-2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \ 6 \ -3\end{pmatrix}$。

给定矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}$ 和矩阵 $B=\begin{pmatrix}5 & 6 \ 7 & 8\end{pmatrix}$，求矩阵 $A+B$ 和 $A-B$。

解：矩阵 $A+B=\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 & 6 \ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 8 \ 10 & 12\end{pmatrix}$，矩阵 $A-B=\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 & 6 \ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -4 \ -4 & -4\end{pmatrix}$。

给定矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}$ 和标量 $k=2$，求矩阵 $kA$。

解：矩阵 $kA=2\begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4 \ 6 & 8\end{pmatrix}$。