动态规划：高效解决多阶段决策问题

动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的数学方法，也是一种解决具有'重叠子问题'和'最优子结构'性质的问题的有效算法思想。它将问题分解为多个子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。

动态规划的核心思想是将原始问题拆分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原始问题的最优解。在求解子问题的过程中，动态规划会保存已经计算过的子问题的解，避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划的基本步骤包括：定义状态，设计状态转移方程，确定边界条件，计算最优解。

1. 定义状态：首先需要明确问题的状态，即问题需要求解的子问题。状态可以是一个或多个变量的组合，用来描述问题的特征。

2. 设计状态转移方程：根据问题的特征和已知条件，定义问题的状态转移方程。状态转移方程描述了子问题之间的关系，即如何从一个子问题转移到下一个子问题。

3. 确定边界条件：边界条件是指最简单的子问题的解。在动态规划中，通常需要确定起始状态和终止状态的值。

4. 计算最优解：根据状态转移方程和边界条件，使用递推或迭代的方法计算子问题的最优解。通过计算得到的子问题的最优解，可以得到原始问题的最优解。

动态规划的关键特点是'重叠子问题'和'最优子结构'。

1. 重叠子问题：动态规划将原始问题拆分为多个子问题，在求解子问题的过程中，可能会遇到相同的子问题。为了避免重复计算，动态规划会将已经计算过的子问题的解保存起来，下次遇到相同的子问题时直接使用已有的解，从而提高算法的效率。

2. 最优子结构：原始问题的最优解可以通过求解子问题的最优解得到。即原始问题的最优解包含了子问题的最优解。这种性质使得动态规划可以通过求解子问题的最优解来得到原始问题的最优解。

动态规划广泛应用于许多领域，如计算机算法、运筹学、经济学等。在计算机算法中，动态规划常用于解决最短路径问题、背包问题、序列比对问题等。动态规划的优势在于可以将复杂的问题分解为简单的子问题，并通过保存已计算过的子问题的解来提高算法的效率。

总之，动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法，通过将问题拆分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原始问题的最优解。它的核心思想是'重叠子问题'和'最优子结构'，通过保存已计算过的子问题的解来避免重复计算，提高算法的效率。