极限存在的等价条件：无穷多个项落在邻域内？

这个判断是错误的。/n/n若存在一个正数ε，使得无穷多个a_n属于'(a-ε, a+ε)'，则可以得到/lim_{n/rightarrow/infty}a_n=a。/n/n但是，反之不一定成立。即使/lim_{n/rightarrow/infty}a_n=a，也不能保证对于任意正数ε，都存在无穷多个a_n属于'(a-ε, a+ε)'。/n/n举个例子来说明这个问题。考虑数列a_n='(-1)^n'，其中n为正整数。这个数列的极限是不存在的，因为a_n在n为奇数时等于-1，在n为偶数时等于1。然而，对于任意正数ε，只有有限个a_n属于'(-ε, ε)'。因此，这个数列的极限不存在，但是对于任意正数ε，无穷多个a_n属于'(a-ε, a+ε)'的条件并不满足。/n/n因此，/lim_{n/rightarrow/infty}a_n=a等价于对于任意正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有a_n属于'(a-ε, a+ε)'。