根据提供的预处理过的MNIST手写体识别数据集及相关资料使用PCA进行降维保留85的能量应用层次聚类和K-Means方法进行聚类。用实验方法选取聚类方法中超参数并对聚类的效果进行评价。需要在实验报告中介绍下数据集的结构程序算法原理及运行结果、评价指标和运行代码

一、数据集结构

MNIST数据集是一个经典的手写数字识别数据集，包含60000个训练样本和10000个测试样本。每个样本是一个28x28像素的灰度图像，标签是0-9之间的数字。

二、PCA降维

PCA是一种常用的降维方法，可以将高维数据转换为低维数据，同时保留尽可能多的原始信息。PCA的基本思想是将高维数据映射到低维空间上，使得映射后的数据方差最大。具体实现可以通过求取数据的协方差矩阵，然后对协方差矩阵进行特征值分解得到主成分，进而进行降维。

在本次实验中，我们使用Python中的sklearn库实现PCA降维。具体代码如下：

from sklearn.decomposition import PCA

# 将数据集进行PCA降维
pca = PCA(n_components=0.85) # 保留85%的能量
pca.fit(X_train)
X_train_pca = pca.transform(X_train)
X_test_pca = pca.transform(X_test)

三、层次聚类

层次聚类是一种自下而上的聚类方法，其基本思想是将数据集中的每个样本看作一个簇，然后逐步合并相似的簇，直到所有样本都在同一个簇中。层次聚类有两种主要的实现方式：凝聚聚类和分裂聚类。凝聚聚类是从下往上合并簇，而分裂聚类则是从上往下划分簇。在本次实验中，我们使用凝聚聚类实现手写数字识别数据集的聚类。

在sklearn库中，我们可以使用AgglomerativeClustering类来实现层次聚类。具体代码如下：

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering

# 进行层次聚类
agg = AgglomerativeClustering(n_clusters=10)
agg.fit(X_train_pca)

# 计算聚类效果
from sklearn.metrics import accuracy_score
y_pred = agg.labels_
accuracy = accuracy_score(y_train, y_pred)
print('Accuracy:', accuracy)

四、K-Means聚类

K-Means聚类是一种经典的聚类方法，其基本思想是将数据集分为K个簇，每个簇的中心点位于簇内所有样本的平均位置。K-Means聚类需要预先设定簇的数量K，然后通过交替更新每个样本所属的簇和每个簇的中心点来实现聚类。在本次实验中，我们使用K-Means聚类实现手写数字识别数据集的聚类。

在sklearn库中，我们可以使用KMeans类来实现K-Means聚类。具体代码如下：

from sklearn.cluster import KMeans

# 进行K-Means聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=10)
kmeans.fit(X_train_pca)

# 计算聚类效果
y_pred = kmeans.labels_
accuracy = accuracy_score(y_train, y_pred)
print('Accuracy:', accuracy)

五、超参数选择

在聚类算法中，超参数的选择对聚类效果有很大的影响。在本次实验中，我们使用轮廓系数（silhouette score）作为评价指标，来帮助选择合适的超参数。轮廓系数是一种衡量聚类效果的指标，其取值范围在[-1, 1]之间，越接近1表示聚类效果越好。

在sklearn库中，我们可以使用silhouette_score函数来计算轮廓系数。具体代码如下：

from sklearn.metrics import silhouette_score

# 计算层次聚类的轮廓系数
for n_clusters in range(2, 11):
    agg = AgglomerativeClustering(n_clusters=n_clusters)
    agg.fit(X_train_pca)
    y_pred = agg.labels_
    score = silhouette_score(X_train_pca, y_pred)
    print('Agg n_clusters:', n_clusters, 'Score:', score)

# 计算K-Means聚类的轮廓系数
for n_clusters in range(2, 11):
    kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters)
    kmeans.fit(X_train_pca)
    y_pred = kmeans.labels_
    score = silhouette_score(X_train_pca, y_pred)
    print('KMeans n_clusters:', n_clusters, 'Score:', score)

六、运行代码

完整的实验代码如下