三重积分习题和答案

计算三重积分$\iiint_E x,dV$，其中$E$是由$x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1$所确定的立方体。

解：由于积分区域为立方体，可进行三次累次积分，即 $$ \begin{aligned} \iiint_E x,dV &= \int_0^1\int_0^1\int_0^1 x,dz,dy,dx \ &= \int_0^1\int_0^1\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 dy,dx \ &= \int_0^1\int_0^1\frac{1}{2} dy,dx \ &= \int_0^1\frac{1}{2} dx \ &= \frac{1}{2}. \end{aligned} $$

因此，所求积分的结果为$\frac{1}{2}$。

计算三重积分$\iiint_E xy,dV$，其中$E$是由$x=0,y=0,z=0,x+y+z=1$所确定的四面体。

解：由于积分区域为四面体，可采用重心坐标变量$x=u,v,w$进行积分。首先计算该变量对应的雅可比式： $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \frac{1}{6V_E}, $$ 其中$V_E$为四面体$E$的体积。

然后，考虑如何用重心坐标计算积分。利用$x=u$和$x+y+z=1$可得$u+y+z=1$，于是$y+z=1-u$，从而有 $$ \begin{aligned} xy &= uv(1-w)(1-v-w) \ &= uv(1-u). \end{aligned} $$ 因此，所求积分为 $$ \begin{aligned} \iiint_E xy,dV &= \int_0^1\int_0^{1-u}\int_0^{1-v-w} uv(1-u)\frac{1}{6V_E},dw,dv,du \ &= \frac{1}{6V_E}\int_0^1\int_0^{1-u} u\left\int_0^{1-v-w} v,dw\right,dv,du \ &= \frac{1}{6V_E}\int_0^1\int_0^{1-u} u\left[\frac{(1-v-w)^2}{2}\right] (1-u),dv,du \ &= \frac{1}{12V_E}\int_0^1\int_0^{1-u} (1-u) (1-v-w)^2,dv,du \ &= \frac{1}{12V_E}\int_0^1\int_0^{1-u} (1-u) (1-v-w)^2,dw,du \ &= \frac{1}{36V_E}\int_0^1 (1-u)^3,du \ &= \frac{1}{144V_E}. \end{aligned} $$

最后，还需要计算四面体$E$的体积$V_E$。由于四面体的三个顶点分别为$(0,0,0)$，$(1,0,0)$和$(0,1,0)$，再加上底面上的一个点$(0,0,1)$，因此可以用以这些点为顶点的三角形来计算体积。具体地，可以利用向量积公式计算两个向量的叉积，并用结果的模长除以$6$来得到该三角形的面积，从而求出四面体的体积： $$ \begin{aligned} V_E &= \frac{1}{6}\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| \cdot \frac{1}{2} \ &= \frac{1}{12}. \end{aligned} $$

因此，所求积分的结果为$\frac{1}{12}$。

计算三重积分$\iiint_E z^2,dV$，其中$E$是由$x^2+y^2\leqslant 1,0\leqslant z\leqslant 1$所确定的圆柱体。

解：由于积分区域为圆柱体，可采用柱坐标变量$r,\theta,z$进行积分。首先计算该变量对应的雅可比式： $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = r. $$

然后，考虑如何用柱坐标计算积分。利用$x=r\cos\theta$和$y=r\sin\theta$可得 $$ z^2 = (1-r^2)\cos^2\theta + (1-r^2)\sin^2\theta = 1-r^2. $$ 因此，所求积分为 $$ \begin{aligned} \iiint_E z^2,dV &= \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1 (1-r^2) r,dz,dr,d\theta \ &= 2\pi\int_0^1 (1-r^2)r,dr \ &= 2\pi\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right] \ &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned} $$

因此，所求积分的结果为$\frac{\pi}{2}$