产生算符和湮灭算符的矩阵表示

假设我们有一个$n$维的量子系统，它的基矢量为$|0\rangle, |1\rangle, ..., |n-1\rangle$。那么，我们可以用产生算符$a^\dagger$和湮灭算符$a$来表示这个系统。

对于一个任意的态矢量$|\psi\rangle$，我们有：

$$|\psi\rangle=\sum_{i=0}^{n-1}c_i| i\rangle$$

其中，$c_i$是一个复数系数。那么，我们可以用$a^\dagger$和$a$来表示这个态矢量：

$$a^\dagger|\psi\rangle=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\sqrt{i+1}|i+1\rangle$$

$$a|\psi\rangle=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\sqrt{i}|i-1\rangle$$

因此，$a^\dagger$和$a$的矩阵表示为：

$$a^\dagger=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \sqrt{2} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & \sqrt{n-1} \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$

$$a=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ \sqrt{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & \sqrt{n-1} \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$

其中，矩阵的每一行和每一列对应着一个基矢量$|0\rangle, |1\rangle, ..., |n-1\rangle$。这里我们采用了符号约定$a^\dagger|0\rangle=0$和$a|n-1\rangle=0$