考虑 WGN 中二元假设检验问题 01 01 1   H z k n kk NH z k s k n k未知噪声参数的信号检测噪声参数未知时一般处理方法未知方差白高斯噪声中信号检测已知确定性信号检测已知PDF随机信号检测非高斯噪声中的信号检测非高斯噪声性质IID非高斯噪声中已知确定信号检测具有未知参数确定性信号检测具有未知PDF参数随机信号检测IID非高斯噪声中未知参数

1、当 $2\sigma$ 已知时，GLRT 判决式为： $$ \Lambda=\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{k=1}^{n}s_k^2 $$ 当 $2\sigma$ 未知时，我们可以使用样本均值估计 $\sigma$，即： $$ \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}s_k^2} $$ 然后带入 GLRT 判决式中，得到： $$ \Lambda=\frac{1}{2\hat{\sigma}^2}\sum_{k=1}^{n}s_k^2 $$ 由于 $\hat{\sigma}$ 是 $\sigma$ 的一致估计，因此当 $n\rightarrow\infty$ 时，GLRT 的渐进性能和已知 $\sigma$ 时相同。

2、当 $s_k\in{-1,1}$ 且 $2\sigma$ 未知时，GLRT 判决式为： $$ \Lambda=\frac{1}{2\hat{\sigma}^2}\sum_{k=1}^{n}s_k^2=\frac{1}{\hat{\sigma}^2}\sum_{k=1}^{n}s_k^2 $$ 由于 $s_k\in{-1,1}$，因此 $\sum_{k=1}^{n}s_k^2$ 的分布是 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n$。因此，GLRT 判决式的分布也是 $\chi^2$ 分布，自由度为 $n$。

对于是否 CFAR，需要进一步分析。由于噪声是 WGN，因此 $\sum_{k=1}^{n}s_k^2$ 的期望为 $2n\sigma^2$。如果 $A=1$ 或 $A=-1$，则 $\sum_{k=1}^{n}s_k^2$ 的期望为 $2n\sigma^2+A^2n=2n(\sigma^2+A^2)$。因此，如果我们设阈值为 $\lambda$，则当 $\lambda=2n\sigma^2$ 时，误检概率为 $\alpha$，当 $\lambda=2n(\sigma^2+A^2)$ 时，虚警概率为 $\alpha$。因此，如果我们选择的阈值能够满足这两个条件，则 GLRT 是 CFAR 的。

3、当 $s_k=-A\sin(\omega_0k+\theta)$ 且 $2\sigma$ 未知时，GLRT 判决式为： $$ \Lambda=\frac{1}{2\hat{\sigma}^2}\sum_{k=1}^{n}(s_k+A\sin(\omega_0k+\theta))^2 $$ 将 $s_k=-A\sin(\omega_0k+\theta)$ 带入，得到： $$ \Lambda=\frac{1}{2\hat{\sigma}^2}\sum_{k=1}^{n}(A\sin(\omega_0k+\theta))^2=\frac{nA^2}{4\hat{\sigma}^2} $$ 由于 $\hat{\sigma}$ 是 $\sigma$ 的一致估计，因此当 $n\rightarrow\infty$ 时，GLRT 的渐进性能为： $$ P_F(\lambda)=\exp(-\lambda), \quad P_D(\lambda)=\exp\left(-\frac{nA^2}{4\lambda}\right) $$ 其中 $\lambda$ 是阈值