证明函数根号x是一致连续的

证明：

设函数f(x) = √x，x∈[0,+∞)。

首先，我们需要证明f(x)在其定义域[0,+∞)上是连续的。

对于任意ε>0，取δ=ε^2，则当|x-y|<δ时有：

|f(x)-f(y)| = |√x-√y| = |(√x-√y)×(√x+√y)| / |√x+√y| = |x-y| / (√x+√y) < |x-y| / √δ = ε

因此，f(x)在[0,+∞)上是连续的。

接下来，我们需要证明f(x)在[0,+∞)上是一致连续的。

对于任意ε>0，取δ=ε^2，则当|x-y|<δ时有：

|f(x)-f(y)| = |√x-√y| = |(√x-√y)×(√x+√y)| / |√x+√y| = |x-y| / (√x+√y) < |x-y| / √δ = ε

因此，无论x和y的取值，只要它们的距离小于δ=ε^2，就有|f(x)-f(y)|<ε，即f(x)在[0,+∞)上是一致连续的。