贪心算法和动态规划算法解决活动选择问题

活动选择问题是指：给定一组活动，每个活动都有一个起始时间和结束时间，要求选择一个最大兼容子集，使得在这个子集中，任何两个活动之间都没有重叠。

本文将介绍两种解决该问题的经典算法：贪心算法和动态规划算法，并通过代码实现和时间复杂度分析比较了两种算法的优劣。

算法实现

import random
import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def generate_activities(n):  # 生成n个活动的起始时间和结束时间
    activities = []
    for i in range(n):
        start_time = random.randint(0, 100)
        end_time = start_time + random.randint(1, 10)
        activities.append((start_time, end_time))
    return activities


def greedy_activity_selection(activities):  # 贪心算法
    activities.sort(key=lambda x: x[1])  # 按结束时间排序确保每次选择的活动都是结束时间最早的活动。使用lambda表达式指定排序的依据。
    selected_activities = []
    current_end_time = 0
    for activity in activities:
        if activity[0] >= current_end_time:
            selected_activities.append(activity)  # 如果活动的起始时间大于等于当前活动的结束时间，则添加到selected_activities中
            current_end_time = activity[1]  # 更新当前活动的结束时间为选中的活动
    return selected_activities


def dynamic_programming_activity_selection(activities):  # 动态规划算法，选择一组互相兼容的活动，使得可以参加的活动数量最大,接受活动列表
    n = len(activities)                               #每个活动都是一个元组，包含活动的起始时间和结束时间
    activities.sort(key=lambda x: x[1])  # 按结束时间排序
    dp = [1] * n  # 初始化dp数组，用于记录每个活动的最大兼容子集大小
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):                           #两层循环遍历活动列表
            if activities[i][0] >= activities[j][1]:  # 如果活动i的起始时间大于等于活动j的结束时间，则活动i可以加入活动j的最大兼容子集
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)          #更新dp[i]为dp[j]+1和dp[i]中大的一个
    max_activities = max(dp)  # 最大兼容子集的大小
    selected_activities = []  # 存储选中的活动
    current_end_time = float('-inf')  # 当前活动的结束时间
    for i in range(n - 1, -1, -1):                     #倒序遍历数组
        if dp[i] == max_activities and activities[i][1] >= current_end_time:
            selected_activities.append(activities[i])  # 如果活动i的最大兼容子集大小等于最大兼容子集的大小，
                                                                 #并且活动i的结束时间大于等于当前活动的结束时间，则选中该活动
            current_end_time = activities[i][0]  # 更新当前活动的结束时间为该活动的起始时间
            max_activities -= 1  # 最大兼容子集的大小减1
    return selected_activities[::-1]  # 返回选中的活动列表，按照起始时间升序排序


def compare_execution_time():
    n_values = [8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096]  # 不同活动数量的取值
    greedy_times = []
    dp_times = []
    for n in n_values:
        activities = generate_activities(n)

        start_time = time.time()
        greedy_activity_selection(activities)
        end_time = time.time()
        greedy_times.append(end_time - start_time)

        start_time = time.time()
        dynamic_programming_activity_selection(activities)
        end_time = time.time()
        dp_times.append(end_time - start_time)
    print(greedy_times)
    print(dp_times)

算法分析

贪心算法
- 贪心算法通过每次选择结束时间最早的活动来构建最大兼容子集。
- 时间复杂度为O(n log n)，其中n为活动数量。排序的时间复杂度为O(n log n)，遍历活动列表的时间复杂度为O(n)。
- 贪心算法的优点是简单易懂，时间复杂度较低。
- 贪心算法的缺点是不能保证找到全局最优解，例如当活动数量较多，且活动之间的重叠关系比较复杂时，贪心算法可能无法找到最优解。
动态规划算法
- 动态规划算法通过建立一个dp数组，记录每个活动的最大兼容子集的大小，最终找到最大兼容子集。
- 时间复杂度为O(n^2)，其中n为活动数量。两层循环遍历活动列表的时间复杂度为O(n^2)。
- 动态规划算法的优点是能够找到全局最优解。
- 动态规划算法的缺点是时间复杂度较高，当活动数量较多时，算法的运行时间会很长。

代码测试

# 生成10个活动
activities = generate_activities(10)

# 使用贪心算法
selected_activities = greedy_activity_selection(activities)
print(f'贪心算法选择的结果：{selected_activities}')

# 使用动态规划算法
selected_activities = dynamic_programming_activity_selection(activities)
print(f'动态规划算法选择的结果：{selected_activities}')

# 比较两种算法的执行时间
compare_execution_time()

**注意：**由于代码中没有给出最大兼容子集的输出结果的部分，无法确定最大兼容子集的具体结果。

总结

贪心算法和动态规划算法都是解决活动选择问题的有效方法。贪心算法简单易懂，时间复杂度较低，但不能保证找到全局最优解。动态规划算法能够找到全局最优解，但时间复杂度较高。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法。