DP优化算法求解炊事员鸡汤配比方案数

在『DPOI-1 炊事员的鸡汤』问题中，我们需要帮助炊事员老冯计算出满足特定条件的鸡汤和毒药配方方案数。暴力枚举法的时间复杂度过高，难以应对较大规模的数据。本文将介绍如何利用动态规划算法优化，高效解决该问题。

问题分析

老冯需要满足以下条件：

配方使用整数份；2. 配方使用份数单调不降；3. 鸡汤混合毒药后的净含量为 m 毫升；4. 鸡汤与毒药的质量比为 o : p。

我们可以将这个问题转化为一个背包问题：

将每个配方看作一个物品；- 每种物品的体积为 x_i + y_i，价值为 1；- 背包的容量为 m；- 需要满足质量比 o : p 的约束条件。

动态规划解法

定义状态 dp[i][j][k] 表示考虑前 i 种配方，鸡汤的体积为 j，毒药的体积为 k 时的方案数。

状态转移方程：

dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + \ dp[i][j - x_i][k - y_i] // 当 j >= x_i 且 k >= y_i 时

边界条件：

dp[0][0][0] = 1; // 其他状态初始值为 0

最终答案为满足 (j * p == k * o) && (j + k == m) 的 dp[n][j][k] 之和。

为了避免精度问题，我们可以将质量比 o : p 化为 o' : 1，即 o' = o / gcd(o, p)，p' = p / gcd(o, p)，然后判断 j * p' 是否为 k * o' 的整数倍。

代码实现cpp#include #include

using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;const int MAXN = 2005;const int MAXM = 2005;

int dp[MAXN][MAXM][MAXM];int x[MAXN], y[MAXN];

int main() { int T; cin >> T; while (T--) { int n, m, o, p; cin >> n >> m >> o >> p; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> x[i] >> y[i]; } int g = __gcd(o, p); o /= g; p /= g; for (int i = 0; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { for (int k = 0; k <= m; k++) { dp[i][j][k] = 0; } } } dp[0][0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { for (int k = 0; k <= m; k++) { dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]; if (j >= x[i] && k >= y[i]) { dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i][j - x[i]][k - y[i]]) % MOD; } } } } int ans = 0; for (int j = 0; j <= m; j++) { for (int k = 0; k <= m; k++) { if (j * p == k * o && j + k == m) { ans = (ans + dp[n][j][k]) % MOD; } } } cout << ans << endl; } return 0;}

总结

通过动态规划算法，我们可以将时间复杂度降低到 O(n * m * m)，从而高效地解决该问题。需要注意的是，在进行状态转移时，需要判断当前状态是否合法，以及是否满足质量比的约束条件