A是正定矩阵证明A+I的行列式大于1

假设A是n阶正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有$x^T Ax>0$。

考虑矩阵B=A+I，其中I是n阶单位矩阵。

首先，B的特征值为λi=Aii+1，其中Aii表示A的第i个对角线元素。由于A是正定矩阵，因此Aii>0，从而λi>1。

其次，B的行列式为$\det(B)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$。由于每个λi都大于1，因此$\det(B)>1^n=1$。

因此，证毕。