无向图欧拉路径计数：2023 CSP 摸底测试真题解析

无向图欧拉路径计数：2023 CSP 摸底测试真题解析

题目： 在右边的无向图中，有 ( ) 个顶点出发存在一条路径可以遍历图中的每条边，而且仅遍历一次。

选项：

A. 6 B. 2 C. 3 D. 4

答案： D. 4

解析：

本题考查的是图论中的欧拉路径概念。欧拉路径是指一条能够遍历图中每条边仅一次的路径。

判断一个无向图是否存在欧拉路径的条件是：

• 图是连通的，即任意两点之间都存在路径。* 图中最多只有两个奇度顶点（度数为奇数的顶点）。

• 如果图中没有奇度顶点，则存在欧拉回路，也存在欧拉路径，任意一点出发都可以。- 如果图中有两个奇度顶点，则存在欧拉路径，且该路径必须从其中一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

观察题目中给出的无向图，可以发现：

1. 该图是连通图。2. 图中有四个奇度顶点。

由于奇度顶点的个数超过了两个，因此该图不存在欧拉路径，所以四个奇度顶点出发都不存在符合题意的路径。

总结：

本题需要考生对欧拉路径的概念和判定条件有清晰的理解。在解题过程中，需要仔细分析图的结构，确定奇度顶点的个数，从而判断是否存在欧拉路径。