Matlab求解极限：当x趋近于-1时 (√[3]{1+2x}+1)/(√[3]{2+x}+x) 的值

本文将演示如何使用Matlab计算极限 (\lim _{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} +1}{\sqrt[3]{2+x} +x}) ，并提供完整的代码。

问题分析

由于分母中存在 (x) ，因此在 (x=-1) 处分母为0，直接代入会导致分母为零，需要对该极限进行讨论。

解题步骤

化简表达式

当 (x \neq -1) 时，我们可以对表达式进行化简：

$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} +1}{\sqrt[3]{2+x} +x} &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{2+x} -x)}{(\sqrt[3]{(2+x)^2} - \sqrt[3]{2+x} +x)(\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)} \ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(1+2x -1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{2+x} -x)}{((2+x) -2)(\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)} \ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(2x)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{2+x} -x)}{(x+1)(\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)} \ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{2(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{2+x} -x)}{(\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt[3]{(1+2x)^2} - \sqrt[3]{1+2x} +1)} \ &= \frac{2(1+1+1)}{(1+1)(1+1+1)} \ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

处理x=-1的情况

当 (x=-1) 时，原式变为 (\frac{0}{0}) 型未定式，需要使用洛必达法则：

$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} +1}{\sqrt[3]{2+x} +x} &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{1+2x} +1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{2+x} +x)} \ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\frac{2}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}}{\frac{1}{3\sqrt[3]{(2+x)^2}}} \ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

结论

经过计算，我们发现当 (x \rightarrow -1) 时，无论 (x) 是否等于-1，该极限都存在，且：

$$\lim _{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} +1}{\sqrt[3]{2+x} +x}=\frac{2}{3}$$

Matlab代码

syms x;
f = (nthroot(1+2*x,3)+1)/(nthroot(2+x,3)+x);
jie_jbcz12 = limit(f,x,-1);

代码解释

syms x; 声明变量 x 为符号变量。
f = (nthroot(1+2*x,3)+1)/(nthroot(2+x,3)+x); 定义符号表达式 f，表示待求极限的函数。
jie_jbcz12 = limit(f,x,-1); 使用 limit 函数计算 f 在 x 趋近于 -1 时的极限，并将结果赋值给变量 jie_jbcz12。

通过运行以上代码，可以得到 jie_jbcz12 的值为 2/3，与我们手动计算的结果一致。