例8 假设函数 在封闭区间 并在开放区间 ？？取其最大值且二阶导数满足 证明 。

根据题意，函数在封闭区间上连续，且在开放区间上二阶导数存在且满足 。

由于函数在封闭区间上连续，所以在该区间上必定存在最大值。设其最大值点为 ，则有

由于函数在开放区间上二阶导数存在且满足 ，所以其一阶导数在开放区间上单调递增或单调递减。假设在开放区间上一阶导数单调递增，则有

由于 ，所以

根据拉格朗日中值定理，存在一个介于和 的点 ，使得

由于 ，所以

因此

根据前面的结论，可得

综上所述，有

即

证毕。