如图一个长方形点P从点A出发以每秒5厘米的速度沿长方形的边按逆时针方向前进一周把APB三点连接起来所得到的三角形APB的面积和点P所走的时间关系画成如图所示这个长方形的面积是多少平方厘米？

设长方形的长为$a$，宽为$b$，则面积为$ab$。

由题意可知，$AP$和$PB$分别为长方形的边长，即$AP=a$，$PB=b$。

设点$P$走了$t$秒，则$AP$和$PB$的长度分别为$at$和$bt$。

根据海龙公式可知，三角形$APB$的面积为：

$$S_{APB}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

其中，$p$为半周长，即$p=\frac{a+b+at+bt}{2}$。

将$p$和$c$代入公式中，得到：

$$S_{APB}=\sqrt{\frac{(a+at+bt)(b+at+bt)atbt}{4}}$$

化简得：

$$S_{APB}=\frac{1}{4}t\sqrt{(a+b)^2t^2-4abt^2}$$

因此，$S_{APB}$与$t$的关系为一条抛物线。当$t=0$时，$S_{APB}=0$；当$t=\frac{2ab}{(a+b)^2}$时，$S_{APB}=\frac{1}{4}ab$，即三角形$APB$面积的最大值。

因此，长方形的面积为$ab=\frac{4S_{APB}}{\frac{1}{2}t}=\frac{8ab}{(a+b)^2}$，解得$a+b=4$。

又因为$ab=\frac{8ab}{(a+b)^2}$，解得$ab=16$。

因此，长方形的面积为$ab=\boxed{16}$平方厘米