为了推导2自由度擦黑板机器人的力和位混合控制模型，需要先建立机器人的运动学模型和动力学模型。假设机器人的运动学模型为：

$$ \begin{pmatrix} x \ y \ \theta \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1+\theta_2) \ l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1+\theta_2) \ \theta_1 + \theta_2 \end{pmatrix} $$

其中，$x$和$y$是机器人的位置坐标，$\theta$是机器人的朝向角度，$l_1$和$l_2$是机器人的两个臂长，$\theta_1$和$\theta_2$是机器人的两个关节角度。

根据运动学模型，可以得到机器人的雅克比矩阵：

$$ J = \begin{pmatrix} -\sin\theta_1-l_2\sin(\theta_1+\theta_2) & -l_2\sin(\theta_1+\theta_2) \ \cos\theta_1+l_2\cos(\theta_1+\theta_2) & l_2\cos(\theta_1+\theta_2) \ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

接下来，根据牛顿-欧拉定理，可以得到机器人的动力学模型：

$$ M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = \tau $$

其中，$q=[\theta_1,\theta_2]^T$是机器人的关节角度向量，$\dot{q}$和$\ddot{q}$分别是$q$的一阶和二阶导数，$M(q)$是质量矩阵，$C(q,\dot{q})$是科里奥利力矩阵，$g(q)$是重力矩阵，$\tau$是关节力矩向量。

为了进行力和位混合控制，需要在动力学模型中引入力控制和位控制的控制变量。假设力控制变量为关节力矩增量$\Delta\tau$，位控制变量为期望位置和朝向$\mathbf{x}_d=[x_d,y_d,\theta_d]^T$和期望速度$\mathbf{v}_d=[v_x,v_y,\omega_d]^T$，则可以将动力学模型改写为：

$$ M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = J^T(q)F_c + \Delta\tau $$

其中，$F_c$是期望合力向量，根据力控制的要求有：

$$ F_c = K_p(\mathbf{x}_d - \mathbf{x}) + K_d(\mathbf{v}_d - \mathbf{v}) $$

其中，$K_p$和$K_d$是位置和速度的比例和微分增益矩阵，$\mathbf{x}=[x,y,\theta]^T$和$\mathbf{v}=[v_x,v_y,\omega]^T$分别是机器人当前的位置和速度。

综上所述，2自由度擦黑板机器人的力和位混合控制模型为：

$$ M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = J^T(q)[K_p(\mathbf{x}_d - \mathbf{x}) + K_d(\mathbf{v}_d - \mathbf{v})] + \Delta\tau $$

其中，$q=[\theta_1,\theta_2]^T$是机器人的关节角度向量，$\dot{q}$和$\ddot{q}$分别是$q$的一阶和二阶导数，$M(q)$是质量矩阵，$C(q,\dot{q})$是科里奥利力矩阵，$g(q)$是重力矩阵，$J(q)$是雅克比矩阵，$K_p$和$K_d$是位置和速度的比例和微分增益矩阵，$\mathbf{x}_d=[x_d,y_d,\theta_d]^T$和$\mathbf{v}_d=[v_x,v_y,\omega_d]^T$是期望位置和朝向以及期望速度，$\mathbf{x}=[x,y,\theta]^T$和$\mathbf{v}=[v_x,v_y,\omega]^T$分别是机器人当前的位置和速度，$\Delta\tau$是关节力矩增量向量