首先介绍了自动定心的概念及其应用。然后建立了平面Jeffcott转子模型并通过受力分析得到了转子的无量纲化模型。接着计算得到振幅与偏心的比值以及转角与转速比的关系从而验证了自动定心的原理。最后通过仿真验证分析了转子在低于临界转速、等于临界转速以及大于临界转速时的振动曲线探究了转子的振动特性。

自动定心是指在旋转机械中，将偏心力转化为一定的离心力，从而使转子自动定心的一种技术。其应用广泛，包括航空发动机、涡轮机、压缩机等领域。通过自动定心技术，可以减小旋转机械的振动，提高其稳定性和可靠性。

在建立平面Jeffcott转子模型时，假设转子为刚性，支承为弹性，且转子在平面内运动。通过受力分析，得到了转子的无量纲化模型，即：

$$ \begin{aligned} \ddot{x}+\beta\dot{x}+\omega_n^2(x+e\cos\theta)&=0\ \ddot{y}+\beta\dot{y}+\omega_n^2e\sin\theta&=0\ \end{aligned} $$

其中，$x$和$y$分别表示转子的水平和垂直位移，$\beta$为阻力系数，$\omega_n$为自然频率，$e$为转子偏心量，$\theta$为转子的转角。

通过计算得到振幅与偏心的比值为：

$$ \frac{A}{e}=\frac{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2-1}} $$

其中，$r$为转速比，$\zeta$为阻尼比。

通过计算得到转角与转速比的关系为：

$$ \theta=\arctan\frac{2\zeta r}{1-r^2} $$

从上述计算结果中可以看出，自动定心的原理是通过转子的偏心量和转速比来产生一定的离心力，从而使转子自动定心。同时，当转速越大，离心力也越大，转子的稳定性也越高。

通过仿真验证，可以看出当转速低于临界转速时，转子的振动幅值较小，但随着转速的逐渐增加，振动幅值也逐渐增大，直到达到临界转速时，振动幅值达到最大值。当转速大于临界转速时，振动幅值开始逐渐减小，直到转子完全稳定下来。

综上所述，自动定心技术是一种有效的减小旋转机械振动的技术。通过建立平面Jeffcott转子模型，可以计算得到转子的无量纲化模型、振幅与偏心的比值以及转角与转速比的关系，从而验证了自动定心的原理。同时，通过仿真分析，可以更加深入地了解转子在不同转速下的振动特性