已知：等腰三角形ABC中AB=AC=10BC=12D是BC的中点∠EDF=∠B 证明：三角形BDF和三角形CED相似

首先，连接AE并延长交BC于点G，如下图所示：

由于AB=AC，因此∠BAC=60°，所以三角形ABC是个等边三角形，AG=BC=12。

又因为D是BC的中点，所以BD=DC=6。

由于已知∠EDF=∠B，因此∠ADF=∠CED，又∠AED=∠CEB，所以三角形AED和三角形CEB相似。根据相似比例可得：

$\frac{AE}{CE}=\frac{ED}{EB}$

又因为AE=AG+GE，CE=CG+GE，ED=BD-BE，EB=BC-BE，代入上式得：

$\frac{AG+GE}{CG+GE}=\frac{BD-BE}{BC-BE}$

化简可得：

$\frac{AG}{CG}=\frac{BD}{DC}$

因为AG=12，CG=6，BD=DC=6，所以上式成立。

根据上式可知，三角形AGB和三角形CGD全等，因此∠DGC=∠BGA=60°。

又因为AB=AC，所以∠BAC=60°，因此三角形BAC也是个等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。

因此，∠DGF=∠BGC-∠BGF=60°-∠BGF，又因为∠DFG=180°-∠DGF-∠GDF=120°-∠BGF，所以∠BGF=60°-∠DFG。

因为DG=BC/2=6，所以$\sin\angle DFG=\frac{DF}{DG}$。

又因为三角形BDF和三角形BGF相似，因此$\sin\angle BFG=\frac{BF}{BG}$。

又因为BF=BD+DF=6+DF，BG=BD+DG=6+6=12，代入上式得：

$\sin(60°-\angle DFG)=\frac{6+DF}{12}$

化简可得：

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\angle DFG-\frac{1}{2}\sin\angle DFG=\frac{1}{2}$

代入$\sin\angle DFG=\frac{DF}{DG}$，得：

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\angle DFG-\frac{1}{2}\cdot\frac{DF}{DG}=\frac{1}{2}$

解得：

$\frac{DF}{DG}=\sqrt{3}\cos\angle DFG-1$

又因为三角形CED和三角形CGD相似，因此$\frac{DF}{DG}=\frac{CE}{CG}$，代入上式得：

$\frac{CE}{CG}=\sqrt{3}\cos\angle DFG-1$

化简可得：

$\frac{CE}{CG}=\sqrt{3}\cos\angle BGF-1$

又因为三角形CEB和三角形ABG相似，因此$\frac{CE}{CG}=\frac{AE}{AG}$，代入上式得：

$\frac{AE}{AG}=\sqrt{3}\cos\angle BGF-1$

化简可得：

$\frac{AG}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}\cos\angle BGF-1}$

因此，三角形BDF和三角形CED相似