三向量共面的充要条件：线性相关性

设三个向量为$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$。/n/n如果$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$线性相关，那么存在不全为零的实数$k_1$，$k_2$，$k_3$，使得$k_1/mathbf{a} + k_2/mathbf{b} + k_3/mathbf{c} = /mathbf{0}$。这意味着$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$可以表示为一个平面上的三个向量之和，因此它们共面。/n/n反过来，假设$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$共面。那么存在不全为零的实数$k_1$，$k_2$，$k_3$，使得$k_1/mathbf{a} + k_2/mathbf{b} + k_3/mathbf{c} = /mathbf{0}$。如果$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，那么显然$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$线性无关。否则，至少存在一个不为零的$k_i$，假设$k_1 /neq 0$。那么可以将上述等式改写为$/mathbf{a} = -/frac{k_2}{k_1}/mathbf{b} - /frac{k_3}{k_1}/mathbf{c}$。这意味着$/mathbf{a}$可以表示为$/mathbf{b}$和$/mathbf{c}$的线性组合，所以$/mathbf{a}$，$/mathbf{b}$，$/mathbf{c}$线性相关。/n/n综上所述，三向量共面的充要条件是它们线性相关。