求方程组X1+2X2+2X3+X4=0 2X1+X2-2X3-2X4=0 X1-X2-4X3-3X4=0的通解

首先将方程组写成增广矩阵的形式：

$$ \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 1 &|& 0 \ 2 & 1 & -2 & -2 &|& 0 \ 1 & -1 & -4 & -3 &|& 0 \end{matrix}\right] $$

对增广矩阵进行行变换，化为阶梯形矩阵：

$$ \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 1 &|& 0 \ 0 & -3 & -6 & -4 &|& 0 \ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} &|& 0 \end{matrix}\right] $$

从最后一行可以看出，原方程组中有一个自由变量，即 $x_4$ 可以取任意实数。将 $x_4$ 置为 $t$，则

$$x_3 = 3t, x_2 = 2t, x_1 = -\frac{1}{3}t$$

因此，原方程组的通解为

$$ \left{ \begin{aligned} x_1 &= -\frac{1}{3}t \ x_2 &= 2t \ x_3 &= 3t \ x_4 &= t \end{aligned} \right. $$

其中 $t\in \mathbb{R}$