如何证明算子的定义域在区间内稠密

设算子 $T$ 的定义域为 $D(T)$，要证明 $D(T)$ 在区间 $[a,b]$ 内稠密，需要证明：对于任意 $f\in C([a,b])$ 和 $\epsilon>0$，存在一个 $g\in D(T)$，使得 $|f-g|_\infty<\epsilon$。

证明：

由于 $f\in C([a,b])$，则 $f$ 是一个连续函数，因此对于任意 $\epsilon>0$，存在一个多项式 $p(x)$，使得 $|f-p|\infty<\frac{\epsilon}{2}$。设 $p(x)=\sum{k=0}^n a_k x^k$。

由于多项式是可微的，因此可以构造一个函数 $g(x)$，使得 $g(x)=p(x)$ 在 $x\in [a,b]$，并且 $g(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处分别满足以下两个条件：

$g'(a)=f'(a)$；
$g'(b)=f'(b)$。

具体地，可以将 $g(x)$ 定义为：

$$ g(x)= \begin{cases} p(x)+\frac{(x-a)^2(x-b)^2}{(b-a)^4}\left(f(a)-p(a)-g'(a)(x-a)\right),& x\in [a,a+\delta],\ p(x),& x\in [a+\delta,b-\delta],\ p(x)+\frac{(x-a)^2(x-b)^2}{(b-a)^4}\left(f(b)-p(b)-g'(b)(x-b)\right),& x\in [b-\delta,b], \end{cases} $$

其中 $\delta>0$ 是一个足够小的正数，满足 $[a,a+\delta]\cup[b-\delta,b]\subset [a,b]$。

显然，$g(x)$ 是一个可微函数，并且在 $x\in [a,b]$ 上有 $g(x)=p(x)$。因此，$g(x)\in D(T)$。

另外，对于任意 $x\in [a,b]$，有

$$ |f(x)-g(x)|\leq |f(x)-p(x)|+|p(x)-g(x)|\leq |f-p|_\infty+\frac{(x-a)^2(x-b)^2}{(b-a)^4}\max{|f(a)-p(a)-g'(a)(x-a)|,|f(b)-p(b)-g'(b)(x-b)|}. $$

由于 $p(x)$ 是一个多项式，因此 $p(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处的导数都存在，即 $g'(a)=p'(a)$ 和 $g'(b)=p'(b)$。因此，对于任意 $x\in [a,b]$，都有 $|f(x)-g(x)|<\epsilon$，即 $D(T)$ 在 $[a,b]$ 内稠密