令I=r0r1-∞≤r0＜r1≤∞是R上的一个区间mx右连续单调递增定义Dmfx=d µfdmM-ae；令x ∈r0r1f是定义在x的领域的实函数；定理：令hx是r0r1的实函数Dmhx=0证明hx在r0r1是一个常数。

证明：

由于Dmh（x）=0，根据定义可知，对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的y∈(x,x+δ)，有：

|h(y)-h(x)|/|y-x| < ε

因为m（x）单调递增，所以对于任意的y∈(x,x+δ)，有：

m(x) ≤ m(y) ≤ m(x+δ)

因此，对于任意的y∈(x,x+δ)，有：

|h(y)-h(x)|/m(y)-m(x) < ε

令δ' = min{δ, (r1-x)/2}，则对于任意的y,z∈(x,x+δ')，有：

|h(y)-h(x)|/m(y)-m(x) < ε

|h(z)-h(x)|/m(z)-m(x) < ε

将两式相减，并取绝对值，得到：

因为m（x）单调递增，所以m(y)-m(x)≥0，m(z)-m(x)≥0，因此：

因此，对于任意的y,z∈(x,x+δ')，有：

令y=x+δ'/2，z=x+δ'/2，则：

|h(x+δ'/2)-h(x)|/m(x+δ'/2)-m(x) ≤ |h(x+δ'/2)-h(x)|/m(x+δ')-m(x) + 2ε

因为m（x）单调递增，所以m(x+δ'/2)-m(x)≥0，m(x+δ')-m(x)≥0，因此：

因此：

因为h（x）是右连续的，所以存在一个从右侧逼近x的数列{x_n}，使得x_n→x，并且h(x_n)→h(x)（n→∞）。因此，对于任意的n∈N，存在一个δ'_n，使得对于任意的y,z∈(x_n,x_n+δ'_n)，有：

|h(y)-h(x_n)|/m(y)-m(x_n) < 1/n

因为{x_n}从右侧逼近x，所以δ'_n→0（n→∞）。因此，对于任意的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，有：

δ'_n < min{δ, (r1-x)/2}

因此，对于任意的n>N，有：

因为m（x）单调递增，所以m(x+δ'_n/2)-m(x)≥0，m(x+δ'_n)-m(x)≥0，因此：

因此，当n>N时，有：

因为h（x）是右连续的，所以h(x_n)→h(x)（n→∞），因此：

|h(x+δ'_n/2)-h(x)|/m(x+δ'_n/2)-m(x) ≤ 4/n

因为n是任意的正整数，所以：

|h(x+δ'_n/2)-h(x)|/m(x+δ'_n/2)-m(x) → 0 （n→∞）

因此：

lim（y→x+）|h(y)-h(x)|/m(y)-m(x) = 0

因为h（x）是右连续的，所以：

lim（y→x-）|h(y)-h(x)|/m(y)-m(x) = 0

因此，对于任意的x∈（r0,r1），有：

lim（y→x）|h(y)-h(x)|/m(y)-m(x) = 0

因此，根据L'Hôpital法则，可得：

lim（y→x）|h(y)-h(x)| = 0

因此，h（x）在（r0,r1）是一个常数。证毕