int_0^T int_Omega u^m _tu_tdxdt继续化简

首先，我们可以将$(u^m)t$按照乘积法则展开：$$(u^m)t = mu^{m-1}u_t.$$将其代入被积函数中，得到：$$\int_0^T\int\Omega mu^{2m-1}u_t^2 dx dt.$$接下来，我们可以将$m$提出来，得到：$$\int_0^T\int\Omega mu^{2m-1}u_t^2 dx dt = m\int_0^T\int_\Omega u^{2m-1}u_t^2 dx dt.$$最后，我们可以使用分部积分法将$u_t^2$中的一个$t$积分消去，得到：$$\int_0^T\int_\Omega u^{2m-1}u_t^2 dx dt = \frac{1}{2}\int_\Omega u^{2m}(T)dx - \frac{1}{2}\int_\Omega u^{2m}(0)dx - \int_0^T\int_\Omega u^{2m}t_t dx dt.$$因此，$$\int_0^T\int_\Omega ({u^m})t u_t dx dt = \frac{m}{2}\int\Omega u^{2m}(T)dx - \frac{m}{2}\int_\Omega u^{2m}(0)dx - m\int_0^T\int_\Omega u^{2m}t_t dx dt.$