令hx是区间r0r1的实函数令Dmhx=0x属于r0r1mx单调递增右连续Dmhx=du hxdmxu表示测度证明hx在r0r1是一个常数

根据Leibniz积分法则，有：

$\int_{r_0}^{r_1} \frac{d}{dx} (h(x)u(x)) dx = \int_{r_0}^{r_1} h(x) \frac{d}{dx} u(x) dx + \int_{r_0}^{r_1} u(x) \frac{d}{dx} h(x) dx$

由于 $D_m h(x) = \frac{d}{dm} h(x) = \frac{d}{dx} h(x) \cdot \frac{dx}{dm} = \frac{1}{u(x)} \frac{d}{dx} h(x)$，所以：

$\frac{d}{dx} h(x) = D_m h(x) u(x)$

代入上式，得：

$\int_{r_0}^{r_1} D_m h(x) dx = \int_{r_0}^{r_1} h(x) \frac{d}{dx} u(x) dx + \int_{r_0}^{r_1} u(x) D_m h(x) dx$

即：

$\int_{r_0}^{r_1} D_m h(x) (1-u(x)) dx = \int_{r_0}^{r_1} h(x) \frac{d}{dx} u(x) dx$

由于 $m(x)$ 单调递增，所以 $u(x)$ 在 $(r_0,r_1)$ 上单调递减。因此，$1-u(x)$ 在 $(r_0,r_1)$ 上单调递增。又由于 $D_m h(x) = 0$，所以上式左边为0，即：

$\int_{r_0}^{r_1} h(x) \frac{d}{dx} u(x) dx = 0$

由于 $h(x)$ 和 $\frac{d}{dx} u(x)$ 在 $(r_0,r_1)$ 上连续，且 $\frac{d}{dx} u(x)$ 在 $(r_0,r_1)$ 上非负，所以 $h(x)$ 在 $(r_0,r_1)$ 上为常数