求方程u_t + - Delta _p^su^m = fu的能量泛函等式的左右两边同乘以u^m_t再对t积分从0到T积分可以得到什么

首先，根据定义，能量泛函为： $$ E(u(t))=\frac{1}{2}\int_\Omega u^2(t),dx+\frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_p^s u(t)|^2,dx $$ 对其求时间导数有： $$ \frac{d}{dt}E(u(t))=\int_\Omega u(t)u_t(t),dx+\int_\Omega \nabla_p^s u(t)\cdot\nabla_p^s u_t(t),dx $$ 将原方程的左右两边同乘以$({u^m})t$，得到： $$ {u_t}({u^m})t + ( - \Delta )p^s{u^m}({u^m})t = {f(u})({u^m})t $$ 对上式两边同时乘以$u(t)$，再在$\Omega$上积分，得到： \begin{align*} &\int\Omega u(t)u_t(t)({u^m})t,dx+\int\Omega u(t)(-\Delta_p^s u^m)({u^m})t,dx\ &=\int\Omega u(t)f(u)({u^m})t,dx \end{align*} 利用分部积分法，有： \begin{align*} &\int\Omega u(t)(-\Delta_p^s u^m)({u^m})t,dx\ &=\int\Omega \nabla_p^s u(t)\cdot\nabla_p^s u_t(t)({u^m})^2,dx-m\int\Omega |\nabla_p^s u(t)|^2 u^{m-1}(t)u_t(t),dx \end{align*} 将上面的结果代入能量泛函的时间导数式子中，得到： \begin{align*} \frac{d}{dt}E(u(t))&=\int\Omega u(t)f(u)({u^m})t,dx+\int\Omega \nabla_p^s u(t)\cdot\nabla_p^s u_t(t),dx\ &\quad -\int\Omega u^{m+1}(t)u_t(t)({u^m})t,dx+m\int\Omega |\nabla_p^s u(t)|^2 u^{m-1}(t)u_t(t),dx \end{align*} 将上式中第一项利用分部积分法展开，有： \begin{align*} &\int\Omega u(t)f(u)({u^m})t,dx\ &=\int\Omega f(u)({u^m})t^2,dx+\int\Omega u(t)f'(u)({u^m})t^2,dx \end{align*} 将上面的结果代入能量泛函的时间导数式子中，整理后可得： \begin{align*} \frac{d}{dt}E(u(t))&=\int\Omega f(u)({u^m})t^2,dx+\int\Omega u(t)f'(u)({u^m})t^2,dx\ &\quad +\int\Omega |\nabla_p^s u_t(t)|^2,dx-\int_\Omega u^{m+1}(t)u_t(t)({u^m})t,dx+m\int\Omega |\nabla_p^s u(t)|^2 u^{m-1}(t)u_t(t),dx \end{align*} 最后一步利用了分部积分法