a为常数求定积分∫正无穷负无穷ae^x

当$x\geq 0$时，$|x|=x$，因此原式可化为$\int_0^\infty ae^x\mathrm{d}x$，当$x<0$时，$|x|=-x$，因此原式可化为$\int_{-\infty}^0 ae^{-x}\mathrm{d}x$。

对于$\int_0^\infty ae^x\mathrm{d}x$，由于$e^x$是连续函数且$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}e^x=+\infty$，因此有：

$$ \begin{aligned} \int_0^\infty ae^x\mathrm{d}x&=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_0^t ae^x\mathrm{d}x\ &=\lim_{t\rightarrow \infty}a\left[e^x\right]0^t\ &=\lim{t\rightarrow \infty}a(e^t-1)\ &=+\infty \end{aligned} $$

对于$\int_{-\infty}^0 ae^{-x}\mathrm{d}x$，由于$e^{-x}$是连续函数且$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^{-x}=+\infty$，因此有：

$$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^0 ae^{-x}\mathrm{d}x&=\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^0 ae^{-x}\mathrm{d}x\ &=\lim_{t\rightarrow -\infty}a\left[e^{-x}\right]t^0\ &=\lim{t\rightarrow -\infty}a(1-e^t)\ &=+\infty \end{aligned} $$

综上所述，定积分$\int_{-\infty}^\infty ae^{|x|}\mathrm{d}x$不存在