判断级数的敛散性例题

对于级数的敛散性的判断，我们需要掌握一些重要的概念和定理。以下是一个例题，通过解答这个例题来帮助我们更好地理解级数的敛散性。

例题：

已知级数 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$，判断其敛散性。

解答：

我们可以使用比较判别法来判断该级数的敛散性。具体地，我们需要找到一个已知的级数 $b_{n}$，使得 $0\leq a_{n}\leq b_{n}$，并且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛或发散。

考虑到 $a_{n}$ 的形式，我们可以选择 $b_{n}=\frac{1}{n^{2}}$。因为对于任意 $n\in\mathbb{N}^{*}$，都有 $n(n+1)>n^{2}$，所以有：

$$0\leq a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}\leq \frac{1}{n^{2}}=b_{n}$$

因此，我们得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$

由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 是一个已知的收敛级数，因此根据比较判别法，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也是收敛的。

因此，我们得出结论：级数 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$ 是收敛的。

总结：

本例题使用了比较判别法来判断级数的敛散性，其核心思想是通过比较给定级数和另一个已知的级数的大小关系来确定其敛散性。在实际应用中，我们还可以使用其他的判别法来判断级数的敛散性，例如根值判别法、比值判别法、积分判别法等等。掌握这些判别法及其应用，有助于我们更好地理解级数的敛散性，并能够熟练地解决相关问题。