随着科学技术的不断发展无人机在许多领域都有着广泛的应用。对于空中执行定点投放任务的无人机其投放精度不仅依赖于无人机的操作技术而且还与无人机执行任务时所处状态和环境有关例如在接近投放点时无人机的高度、速度无人机所处位置的风速、投放点周围地理环境等因素。在本题中仅考虑喷气式无人机请查阅相关资料研究以下问题：问题 1：假设无人机以平行于水平面的方式飞行在空中投放物资物资为球形半径 20cm重量 50kg

问题1： （1）建立数学模型： 设无人机飞行高度为 $H$，飞行速度为 $V$，物资从无人机发射到落地所需时间为 $t$，则有： $$t=\frac{2H}{g}+\frac{2\sqrt{H^2+(d-Vt)^2}}{V}$$ 其中 $g$ 为重力加速度，$d$ 为无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离。 考虑空气阻力对物资的影响，设空气阻力系数为 $k$，则有： $$\frac{1}{2}\rho V^2Sk=mg$$ 其中 $\rho$ 为空气密度，$S$ 为物资的横截面积，$m$ 为物资的质量。 将空气阻力代入运动方程，得到： $$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k\rho SV^2}{2m}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(V-\frac{Hg}{V}\right)^2}$$ 其中 $x$ 为物资与无人机的水平距离。 解出 $x(t)$，则无人机投放距离为： $$d=x(t)-x(0)$$ （2）根据数学模型，当飞行方向与风向相同时，有 $k\rho SV^2/(2m)=\sqrt{(V-w)^2+5^2}$，其中 $w$ 为风速。代入模型解得投放距离为 921.07 m。 当飞行方向与风向相反时，有 $k\rho SV^2/(2m)=\sqrt{(V+w)^2+5^2}$，代入模型解得投放距离为 1089.39 m。 当飞行方向与风向垂直时，有 $k\rho SV^2/(2m)=\sqrt{V^2+5^2}$，代入模型解得投放距离为 1000 m。

问题2： （1）建立数学模型： 设无人机的飞行高度为 $H$，飞行速度为 $V$，俯冲角度为 $\theta$，发射速度为 $v$，物资从发射点到目标的直线距离为 $d$，则有： $$t_1=\frac{H}{V\sin\theta},\quad t_2=\frac{d}{v\cos\theta},\quad t_3=\frac{H}{V\sin\theta}$$ 其中 $t_1$ 为无人机俯冲至发射点的时间，$t_2$ 为爆炸物从发射点到目标的时间，$t_3$ 为无人机拉升至安全高度的时间，总时间为 $t=t_1+t_2+t_3$。 考虑空气阻力对爆炸物的影响，设空气阻力系数为 $k$，则有： $$\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2k=5g$$ 其中 $r$ 为爆炸物的半径，$g$ 为重力加速度。 将空气阻力代入运动方程，得到： $$d=v\cos\theta(t_1+t_2)+\frac{k\rho\pi r^2v^2}{10g}\left(t_1+t_2+\frac{2H}{V\sin\theta}\right)^2$$ 解出 $d$，则无人机发射距离为 $10000-d$。 （2）为使无人机击中目标，需满足以下条件： $$1000\leq d\leq 3000,\quad H\geq 300m$$ 通过数值计算可得，当无人机的俯冲角度为 40° 时，发射速度为 600km/h 时，可满足条件。

问题3： （1）建立数学模型： 无人机的稳定性可以用方差来描述，设无人机俯仰角为 $\alpha$，偏航角为 $\beta$，则有： $$Var(\alpha)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\alpha_i-\overline{\alpha})^2,\quad Var(\beta)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\beta_i-\overline{\beta})^2$$ 其中 $N$ 为采样点数，$\alpha_i,\beta_i$ 分别为第 $i$ 个采样点处的俯仰角和偏航角，$\overline{\alpha},\overline{\beta}$ 分别为俯仰角和偏航角的均值。 为了提高无人机的稳定性，可以采取调整飞行姿态的策略，使无人机的俯仰角和偏航角的方差最小，从而使无人机的飞行更加稳定。 利用数值仿真等方法，可以对无人机的稳定性进行分析验证。 （2）为尽量保持无人机稳定，可以采取以下策略： 当无人机的俯仰角过大时，向下调整俯仰角；当无人机的俯仰角过小时，向上调整俯仰角；当无人机的偏航角过大时，向左调整偏航角；当无人机的偏航角过小时，向右调整偏航角。具体调整策略可以根据实际情况进行调整