帮我出一道线性代数的解答题并附上解题过程！

题目：

已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&3\2&4&6\3&6&9\end{bmatrix}$，求矩阵$B$，使得$AB=BA$。

解答过程：

首先我们需要知道，若矩阵$A$和$B$可交换，则$AB=BA$。

因此，我们需要找到一个矩阵$B$，满足$AB=BA$。

设$B=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}$，则有：

$$ AB=\begin{bmatrix}1&2&3\2&4&6\3&6&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+2d+3g&b+2e+3h&c+2f+3i\2a+4d+6g&2b+4e+6h&2c+4f+6i\3a+6d+9g&3b+6e+9h&3c+6f+9i\end{bmatrix} $$

$$ BA=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\2&4&6\3&6&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+2b+3c&2a+4b+6c&3a+6b+9c\d+2e+3f&2d+4e+6f&3d+6e+9f\g+2h+3i&2g+4h+6i&3g+6h+9i\end{bmatrix} $$

因此有：

$$ \begin{cases} a+2d+3g=a+2b+3c\ b+2e+3h=2a+4b+6c\ c+2f+3i=3a+6b+9c\ 2a+4d+6g=d+2e+3f\ 2b+4e+6h=2d+4e+6f\ 2c+4f+6i=3d+6e+9f\ 3a+6d+9g=g+2h+3i\ 3b+6e+9h=2g+4h+6i\ 3c+6f+9i=3g+6h+9i\ \end{cases} $$

整理得：

$$ \begin{cases} 2d-2b+3g-3c=0\ 2a-2b+3c-3e-3h=0\ 3a-6b+8c+6f-9i=0\ 2a-3d+3e-3f-6g=0\ 4b-4e+6h-6f=0\ -3d+6e-6f+3c-6g=0\ 3a-6d+6g-2h-3i=0\ -2g+2h-3b+6e-6h+3i=0\ 0=0\ \end{cases} $$

解得：

$$ \begin{cases} d=b\ e=c+h\ f=\frac{1}{2}(b+2c-3h)\ g=\frac{1}{3}(a+2b+3c)\ h=h\ i=\frac{1}{3}(2c-b)\ \end{cases} $$

因此，矩阵$B$为：

$$ B=\begin{bmatrix}a&b&c\b&c+h&\frac{1}{2}(b+2c-3h)\\frac{1}{3}(a+2b+3c)&h&\frac{1}{3}(2c-b)\end{bmatrix} $$

综上所述，矩阵$B$为：

$$ B=\begin{bmatrix}a&b&c\b&c+h&\frac{1}{2}(b+2c-3h)\\frac{1}{3}(a+2b+3c)&h&\frac{1}{3}(2c-b)\end{bmatrix} $$

其中，$a,b,c,h$为任意实数