问题1： 假设无人机以平行于水平面的方式飞行在空中投放物资物资为球形半径20cm重量50kg到达地面指定位置。1建立数学模型给出无人机投放距离投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。2假设无人机的飞行高度为300m飞行速度为300kmh风速为5ms风向与水平面平行。建立数学模型分别给出无人机飞行方向与风向相同夹角为0度、相反夹角为180度

(1) 建立数学模型：

设无人机的飞行速度为 $v$，飞行高度为 $h$，物资的质量为 $m$，物资与地面指定落地点之间的距离为 $d$，空气密度为 $\rho$，物体的半径为 $r$，物体在空气中受到的阻力为 $F_d$。

由牛顿第二定律可得：

$$ F_g - F_d = ma $$

其中，$F_g$ 是物体所受的重力，$a$ 是物体的加速度。

物体所受的重力为：

$$ F_g = mg $$

物体受到的空气阻力为：

$$ F_d = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d S $$

其中，$C_d$ 是物体的阻力系数，$S$ 是物体的横截面积。

当物体达到稳定速度时，加速度为 0，此时：

$$ F_g - F_d = 0 $$

化简得：

$$ mg = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d S $$

解出 $C_d$ 得：

$$ C_d = \frac{2mg}{\rho v^2 S} $$

根据牛顿第二定律和圆周运动的加速度公式可得：

$$ ma = F_g - F_d $$

$$ a = \frac{F_g - F_d}{m} = g - \frac{1}{2}\frac{\rho v^2 C_d S}{m} $$

当物体下落到地面时，其速度为 $v_0$，根据向上抛物运动的公式可得：

$$ d = \frac{v_0^2}{2g} $$

将 $v_0$ 用 $a$ 表示出来：

$$ v_0 = \sqrt{2ad} $$

将 $a$ 代入得：

$$ v_0 = \sqrt{2d(g - \frac{1}{2}\frac{\rho v^2 C_d S}{m})} $$

所以，无人机投放距离与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系为：

$$ d = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{d(g - \frac{1}{2}\frac{\rho v^2 C_d S}{m})}{g} $$

化简得：

$$ d = \frac{v^2}{2g}\left(\frac{2mg}{\rho v^2 S}\right) = \frac{mg}{\rho Sv^2}\left(\frac{v^2}{g}\right) $$

$$ d = \frac{m}{\rho \pi r^2}\left(\frac{v^2}{g}\right) $$

(2) 分别给出无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）、相反（夹角为180度）、垂直（夹角为90度）情况下无人机的投放距离。

• 当无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）时，空气阻力最小。

此时，空气密度为 $\rho = 1.225 kg/m^3$，无人机飞行速度为 $v = 300 km/h = 83.33 m/s$，飞行高度为 $h = 300 m$，风速为 $w = 5 m/s$。

物体的质量为 $m = 50 kg$，半径为 $r = 0.2 m$。

代入公式得：

$$ d = \frac{m}{\rho \pi r^2}\left(\frac{v^2}{g}\right) = \frac{50}{1.225 \times \pi \times 0.2^2}\left(\frac{83.33^2}{9.8}\right) \approx 1,623.50 m $$

• 当无人机飞行方向与风向相反（夹角为180度）时，空气阻力最大。

此时，空气密度为 $\rho = 1.225 kg/m^3$，无人机飞行速度为 $v = 300 km/h = 83.33 m/s$，飞行高度为 $h = 300 m$，风速为 $w = -5 m/s$。

物体的质量为 $m = 50 kg$，半径为 $r = 0.2 m$。

代入公式得：

$$ d = \frac{m}{\rho \pi r^2}\left(\frac{v^2}{g}\right) = \frac{50}{1.225 \times \pi \times 0.2^2}\left(\frac{83.33^2}{9.8}\right) \approx 1,623.50 m $$

• 当无人机飞行方向与风向垂直（夹角为90度）时，空气阻力次之。

此时，空气密度为 $\rho = 1.225 kg/m^3$，无人机飞行速度为 $v = 300 km/h = 83.33 m/s$，飞行高度为 $h = 300 m$，风速为 $w = 5 m/s$。

物体的质量为 $m = 50 kg$，半径为 $r = 0.2 m$。

由向量叉乘可得无人机与地面风向的夹角为 $90^\circ$，即无人机的速度向量与水平面法向量的夹角为 $90^\circ$。

设无人机的速度向量为 $\vec{v}$，水平面法向量为 $\vec{n}$，无人机的飞行方向与地面的夹角为 $\theta$，则有：

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v \cos\theta \ v \sin\theta \ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{v} \times \vec{n} = \begin{pmatrix} v \sin\theta \

• v \cos\theta \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
• d \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$

解得：

$$ d = v \sin\theta = 83.33 \sin90^\circ = 83.33 m $$

所以，当无人机飞行方向与风向垂直（夹角为90度）时，无人机的投放距离为 $83.33 m$