长方形长一定周长和宽成什么比例

长方形的周长可以表示为 $C=2(l+w)$，其中 $l$ 表示长，$w$ 表示宽。如果长和宽成比例 $k:l$，则可以表示为 $w=\frac{kl}{k+1}$，$l=\frac{kw}{l+1}$。

将 $w=\frac{kl}{k+1}$ 代入周长公式可得：

$$C=2(l+\frac{kl}{k+1})=\frac{2k(k+l)}{k+1}$$

因为长和宽成比例 $k:l$，所以 $k$ 和 $l$ 必须是正整数之比，且 $k\neq l$。因此，我们只需要枚举正整数 $k$ 和 $l$，并计算 $C$ 是否为整数即可。

举例来说，如果长和宽成比例 $2:1$，则 $k=2$，$l=1$，代入公式可得：

$$w=\frac{2\times1}{2+1}=\frac{2}{3}$$

$$l=\frac{2\times\frac{2}{3}}{1+1}=\frac{4}{3}$$

$$C=\frac{2\times2(2+\frac{4}{3})}{2+1}=\frac{16}{3}$$

因为 $C$ 不是整数，所以长和宽不能成比例 $2:1$。

继续枚举其他比例，我们会发现只有比例 $1:1$、$1:2$、$1:3$、$2:1$、$3:1$、$3:2$、$2:3$ 和 $3:4$ 时，长方形的周长和宽才能成比例。其中，比例为 $1:1$ 时，周长和宽的比例为 $2:1$；比例为 $1:2$ 时，周长和宽的比例为 $4:3$；比例为 $1:3$ 时，周长和宽的比例为 $6:5$；比例为 $2:1$ 时，周长和宽的比例为 $3:2$；比例为 $3:1$ 时，周长和宽的比例为 $4:3$；比例为 $3:2$ 时，周长和宽的比例为 $5:4$；比例为 $2:3$ 时，周长和宽的比例为 $4:5$；比例为 $3:4$ 时，周长和宽的比例为 $7:8$。

因此，长方形长一定周长和宽成的比例只有以上八种情况。