427考虑一个5×5空间域滤波器h xy 它利用最近的12个邻域像素对像素f xy 计算平均值计算平均值时不考虑自身像素fxy 。a计算空间域滤波器hxy所对应的频率域滤波器Huv；b证明Huv是低通滤波器。

(a) 首先，计算该空间域滤波器的卷积核： $$ h(x,y) = \frac{1}{12}(h_1+h_2+h_3+h_4) $$ 其中，$h_1$表示上下左右四个邻域的像素值，$h_2$表示四个角落的邻域像素值，$h_3$表示四个边角邻域的像素值，$h_4$表示中心点周围四个对角线邻域的像素值。

将卷积核进行中心化，得到： $$ h(x,y) = \frac{1}{12}(h_1+h_2+h_3+h_4) - \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{5}h(i,j) $$

然后，将卷积核进行傅里叶变换，得到频率域滤波器： $$ H(u,v) = \mathcal{F}{h(x,y)} = \frac{1}{12}(H_1+H_2+H_3+H_4) $$ 其中，$H_1$表示上下左右四个邻域的傅里叶变换值，$H_2$表示四个角落的邻域傅里叶变换值，$H_3$表示四个边角邻域的傅里叶变换值，$H_4$表示中心点周围四个对角线邻域的傅里叶变换值。

(b) 由于在计算平均值时只考虑邻域像素，不考虑自身像素，因此该滤波器对应的频率域滤波器在低频区域有较大的权重，而在高频区域的权重逐渐减小，因此可以证明它是一个低通滤波器