牛顿环干涉公式推导与曲率半径计算：为什么测量环径而不是半径？

牛顿环干涉公式推导：

考虑一个均匀厚度为t的透明平凸透镜，其顶点O为凸面，另一面为平面。将该透镜放置在平行光束中，光线从透镜的平面入射，经透镜后发生反射，形成一组同心的牛顿环。

设透镜的曲率半径为R，光线从透镜平面入射的点到透镜平面的距离为d，设该点的半径为r。根据几何关系，可得到以下公式：

对于凸透镜的一组同心牛顿环，光程差Δl等于2t，即Δl = 2t。
光线经过透镜的反射，反射点到透镜顶点O的距离等于透镜平面的切线与反射线的交点到O的距离，即d = r^2/(2R)。

将上述两个公式代入干涉公式（Δl = λ/2），得到牛顿环的干涉公式：

2t = λ/2 * [1 - (r^2/(2R))]，整理得到：

r^2 = (4Rλt)/(λ - 2t)，其中，r为牛顿环的半径，R为透镜的曲率半径，λ为入射光的波长，t为透镜的厚度。

曲率半径的计算公式：

由上述推导可知，牛顿环的半径r与透镜的曲率半径R有关。因此，可以通过测量牛顿环的半径来计算透镜的曲率半径。

为什么测环径而不是测半径？

牛顿环实验中，光程差Δl是由透镜的厚度t决定的，而透镜的厚度是比较容易测量的。因此，通过测量牛顿环的半径r，可以间接地得到透镜的曲率半径R。而直接测量透镜的曲率半径较为困难，所以选择测量环径而不是半径。

光路图示意图：

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其中，圆形部分为凸透镜的一组同心牛顿环，中间的虚线表示入射光线从透镜平面入射后反射的光线。