某大型企业的员工人数在 1700~1800 之间这个人数是这样的如果被 5 除余 3如果被 7 除余 4如果被 11 除余 6那么这个企业到底有多少员工

根据题意，我们可以列出以下方程组：

$$\begin{cases}x\equiv 3\pmod{5}\x\equiv 4\pmod{7}\x\equiv 6\pmod{11}\end{cases}$$

其中，$x$ 表示企业的员工人数。由于 $5$、$7$、$11$ 互质，因此可以使用中国剩余定理求解。

首先，设 $M=5\times 7\times 11=385$，则 $M_1=77$，$M_2=55$，$M_3=35$ 分别是 $M$ 除以 $5$、$7$、$11$ 的商。然后，分别求解下列同余方程：

$$\begin{cases}77y_1\equiv 1\pmod{5}\55y_2\equiv 1\pmod{7}\35y_3\equiv 1\pmod{11}\end{cases}$$

解得 $y_1=3$，$y_2=5$，$y_3=2$。因此，通解为：

$$x\equiv 3\times 77\times 3+4\times 55\times 5+6\times 35\times 2\equiv 1693\pmod{385}$$

因为 $x$ 在 $1700$ 到 $1800$ 之间，所以 $x=1693$，即该企业有 $1693$ 名员工