拉格朗日中值定理求极限例题

设 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，求 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$。

根据拉格朗日中值定理，对于 $x\neq 0$，存在 $c\in(0,x)$ 或 $c\in(x,0)$，使得

$$ f(x)-f(0)=f'(c)x $$

其中 $f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。

因为 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，所以 $\lim\limits_{x\to 0}\sin x=0$，$\lim\limits_{x\to 0}x=0$，$\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1$，$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0$。

所以，

$$ \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(0)+\lim_{x\to 0}f'(c)x=1 $$

其中 $c$ 是一个与 $x$ 有关的变量，当 $x\to 0$ 时，$c\to 0$。因此，$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$。