已知三元二次型 x‘Ax 的平方项系数为 0并且 α=12 1’满足 Aα=2α 求该二次型表达

设三元二次型为 $x'Ax$，其中 $A=\begin{pmatrix} a & b & c \ b & d & e \ c & e & f \end{pmatrix}$，则平方项系数为0可得 $a=d,f=0$，且有 $A\alpha=2\alpha$，即

$$\begin{pmatrix} a & b & c \ b & d & e \ c & e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 2 \end{pmatrix}$$

解得 $a=2,b=-2,c=2,d=2,e=-2,f=0$，因此三元二次型为

$$x'Ax=2x_1^2-4x_1x_2+2x_2^2+2x_1x_3-2x_2x_3$$