线性代数：相同解集的方程组是否意味着矩阵相等？

如果对于每个向量 b，线性方程组 Ax = b 和 Cx = b 都有相同的解，那么可以推断矩阵 A 和 C 具有相同的列空间。

这是因为线性方程组 Ax = b 和 Cx = b 有相同的解意味着它们的解向量可以互相转化。这表明向量 b 属于 A 的列空间当且仅当它属于 C 的列空间。

然而，即使 A 和 C 具有相同的列空间，它们不一定相等。两个矩阵可以具有相同的列空间，但是它们的行空间可能不同。因此，我们不能简单地得出 A 等于 C 的结论。

举个例子，考虑以下两个矩阵：

A = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0] C = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

这两个矩阵的列空间相同，都是三维空间中的所有向量。对于任何向量 b，方程 Ax = b 和 Cx = b 都有唯一解 x = b。

但是，矩阵 A 和矩阵 C 并不相等，因为它们的元素不同。

因此，当对于每个向量 b，线性方程组 Ax = b 和 Cx = b 都有相同的解时，并不能推断出矩阵 A 等于矩阵 C。