证明矩阵 F=G：当 m×n 矩阵 A 和 B 有相同的四个子空间且均为行简化阶梯形式

要证明矩阵 F 和矩阵 G 相等，我们可以证明它们的每一列都相等。

给定的矩阵 F 和 G 都已经是行简化阶梯形式，它们的每一列都可以表示为矩阵 A 和 B 的列向量的线性组合。我们只需要证明 A 和 B 的对应列向量是相等的。

设 A 的第 i 列为 a_i，B 的第 i 列为 b_i。我们需要证明 a_i = b_i 对于所有的 i 成立。

由于 A 和 B 有相同的四个子空间，它们的零空间、行空间、列空间和左零空间都相等。因此，我们可以得出以下结论：

1. 零空间：A 和 B 的零空间相等，即 N(A) = N(B)。这意味着它们的列向量 a_i 和 b_i 的零空间部分相等，即它们的零空间部分都是零向量。

2. 行空间：A 和 B 的行空间相等，即 R(A) = R(B)。这意味着它们的列向量 a_i 和 b_i 的行空间部分相等，即它们的行空间部分都是非零的。

3. 列空间：A 和 B 的列空间相等，即 C(A) = C(B)。这意味着它们的列向量 a_i 和 b_i 的列空间部分相等，即它们的列空间部分都是非零的。

综上所述，对于所有的 i，a_i 和 b_i 的零空间、行空间和列空间部分都是相等的。因此，我们可以得出结论 a_i = b_i。

由于 F 和 G 的每一列都相等，所以 F = G。

因此，我们证明了在给定条件下矩阵 F 和矩阵 G 相等。