二维随机变量的概率密度例题

二维随机变量是指由两个随机变量构成的随机向量，其每个分量都是一个随机变量。二维随机变量的概率密度是用来描述二维随机变量在不同取值下概率分布的函数。下面给出一个例题来说明二维随机变量的概率密度的计算。

例题：设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases} 2, & 0\leq x\leq y\leq 1 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求$P(X+Y\geq1)$。

解析：$P(X+Y\geq1)$可以看作是事件${(X,Y)|X+Y\geq1}$的概率。根据概率密度函数的定义，可以通过对事件${(X,Y)|X+Y\geq1}$的积分来计算概率。即：

$$P(X+Y\geq1)=\iint_{x+y\geq 1}f(x,y)dxdy$$

根据$f(x,y)$的定义，可以得到：

$$P(X+Y\geq1)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=1-x}^{1}2dydx$$

$$=2\int_{x=0}^{1}(1-x)dx=1$$

因此，$P(X+Y\geq1)=1$。